己知抛物线y2=4x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，∠AFB＝π2，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则|MN||AB|的最大值为．

Question

己知抛物线y²=4x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，∠AFB＝(π)/(2)，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则(|MN|)/(|AB|)的最大值为______．

Answer 1

设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ　　
由抛物线定义，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由勾股定理得|AB|²=a²+b²，配方得|AB|²=（a+b）²-2ab，
又∵ab≤（(a+b)/(2)） ²，
∴（a+b）²-2ab≥（a+b）²-2×（(a+b)/(2)） ²=(1)/(2)（a+b）²
得到|AB|≥(√(2))/(2)（a+b）．
所以(|MN|)/(|AB|)≤((1)/(2)(a+b))/((√(2))/(2)(a+b))=(√(2))/(2)，即(|MN|)/(|AB|)的最大值为(√(2))/(2)．
故答案为：(√(2))/(2)