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已知抛物线C:y2=2px(p>0)上的一点M(2,m)(m>0),M到焦点F的距离为52,A、B是抛物线C上异于M的两点,且MA⊥MB.(1)求p和m的值;(2)问直线AB是否恒过定点?若过定点,求出这个定
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已知抛物线C:y2=2px(p>0)上的一点M(2,m)(m>0),M到焦点F的距离为
,A、B是抛物线C上异于M的两点,且MA⊥MB.
(1)求p和m的值;
(2)问直线AB是否恒过定点?若过定点,求出这个定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
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(1)求p和m的值;
(2)问直线AB是否恒过定点?若过定点,求出这个定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵点M(2,m)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,
由抛物线的定义知,2+
=
,得p=1,
从而抛物线C的方程为y2=2x,
将点M的坐标代入C的方程中,有m2=4(m>0),
解得m=2.
综上知,p=1,m=2.
(2)由题意知,直线AB不与y轴垂直,可设直线AB的方程为x=ty+n,
又设A,B两点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
将x=ty+n代入y2=2x中,整理得关于y的一元二次方程y2-2ty-2n=0,
则此方程的两根为y1,y2,所以△=4t2+8n>0,且y1+y2=2t,y1•y2=-2n;
由MA⊥MB得(x1-2)(x2-2)+(y1-2)(y2-2)=0,
而x1=ty1+n,x2=ty2+n,y12=2x1,y22=2x2,
所以
+y1•y2-2(t+1)(y1+y2)-4n+8=0,
将y1+y2=2t,y1•y2=-2n代入上式,化简并整理得(n-3)2=(2t+1)2,
得n-3=2t+1,或3-n=2t+1,即n=2t+4,或n=2-2t,
当n=2t+4时,联立x=ty+n消去n,得直线AB的方程为x=t(y+2)+4,
此时,△=4t2+8n=4t2+16t+32=4(t+2)2+16>0,
可知直线AB过定点(4,-2).
当n=2-2t时,得直线AB的方程为x=t(y-2)+2,此直线过定点M(2,2),不合题意.
综上知,直线AB恒过定点(4,-2).
由抛物线的定义知,2+
p |
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2 |
从而抛物线C的方程为y2=2x,
将点M的坐标代入C的方程中,有m2=4(m>0),
解得m=2.
综上知,p=1,m=2.
(2)由题意知,直线AB不与y轴垂直,可设直线AB的方程为x=ty+n,
又设A,B两点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
将x=ty+n代入y2=2x中,整理得关于y的一元二次方程y2-2ty-2n=0,
则此方程的两根为y1,y2,所以△=4t2+8n>0,且y1+y2=2t,y1•y2=-2n;
由MA⊥MB得(x1-2)(x2-2)+(y1-2)(y2-2)=0,
而x1=ty1+n,x2=ty2+n,y12=2x1,y22=2x2,
所以
(y1•y2)2 |
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将y1+y2=2t,y1•y2=-2n代入上式,化简并整理得(n-3)2=(2t+1)2,
得n-3=2t+1,或3-n=2t+1,即n=2t+4,或n=2-2t,
当n=2t+4时,联立x=ty+n消去n,得直线AB的方程为x=t(y+2)+4,
此时,△=4t2+8n=4t2+16t+32=4(t+2)2+16>0,
可知直线AB过定点(4,-2).
当n=2-2t时,得直线AB的方程为x=t(y-2)+2,此直线过定点M(2,2),不合题意.
综上知,直线AB恒过定点(4,-2).
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