如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=11．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A,D不重合）一直角边始终经过点C,另一直角边与AB交于点E．（1）△CDP与△PAE相似吗?如果相似,请写出证明过程；（2）当∠PC

Question

如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=11．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时
（点P与A,D不重合）一直角边始终经过点C,另一直角边与AB交于点E．
（1）△CDP与△PAE相似吗?如果相似,请写出证明过程；
（2）当∠PCD=30°时,求AE的长．
（3）是否存在这样的点P,使△CDP的周长等于△PAE周长的2倍?若存在,求DP的长,若不存在,请说明理由

Answer 1

注意,E在AB上.
(1)
∠D=∠A=∠EPC=90°
∠DPC+∠APE=90°
∠AEP+∠APE=90°
∠DPC=∠AEP
△CDP∽△PAE,[AA]
(2)
DC=AB=6,
∠PCD=30°,∠D=90°,
2PD=PC
PC²=PD²+DC²
(2PD)²=PD²+6²
4PD²-PD²=6²
PD=2√3
AP=AD-PD=11-PD=11-2√3
AE:AP=DP:DC
AE=AP*DP/DC=(11-2√3)*2√3/6=(11√3-6)/3
(3)
设DP=X时,△CDP的周长等于△PAE周长的2倍,
△CDP∽△PAE,△CDP的各边等于△PAE对应边的2倍：
DP=X,AP=AD-DP=11-X
DC=2AP
6=2(11-X)
X=8,
DP=X=8;