如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=11．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A,D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E．（1）△CDP与△PAE相似吗？如果

Question

如图，在矩形 ABCD 中， AB =6， AD =11．直角尺的直角顶点 P 在 AD 上滑动时（点 P 与 A , D 不重合），一直角边始终经过点 C ，另一直角边与 AB 交于点 E ．
（1）△ CDP 与△ PAE 相似吗？如果相似，请写出证明过程；
（2）当∠ PCD =30°时，求 AE 的长；
（3）是否存在这样的点 P ，使△ CDP 的周长等于△ PAE 周长的2倍？若存在，求 DP 的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

1）△ CDP ∽△ PAE .                 ………………………………（1分）
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠ D= ∠ A= 90°， CD=AB= 6.     ……………………（2分）
∴ ∠ PCD +∠ DPC= 90°            
又∵ ∠ CPE= 90°,
∴ ∠ EPA +∠ DPC= 90°,           ……………………（3分）
∴ ∠ PCD= ∠ EPA .              
∴ △ CDP ∽△ PAE .              ………………………（4分）
（2）在 Rt △ PCD 中，由 tan ∠ PCD = .     ……………………（5分）
∴ PD=CD • tan ∠ PCD= 6• tan 30°=6× =2 . …………（6分）
∴ AP=AD - PD= 11-2 .      ………………………………（7分）
解法1：由△ CDP ∽△ PAE 知 ，
∴ AE=     …………（8分）
解法2：由△ CDP ∽△ PAE 知∠ EPA =∠ PCD =30°，
∴ AE=AP • tan ∠ EAP= (11-2 )• tan 30°= . ……（8分）
（3）假设存在满足条件的点 P ，设 DP=x ，则 AP= 11- x
由△ CDP ∽△ PAE 知 ，                 ……………（9分）
∴ ，解得 x= 8，此时 AP= 3， AE= 4．  ……………（10分）

 略