以知圆X^+Y^=1,A,B,C是抛物线Y=X^-2上的三点,如果直线AB,AC与圆相切,求证BC也与圆相切.

Question

以知圆X^+Y^=1,A,B,C是抛物线Y=X^-2上的三点,如果直线AB,AC与圆相切,求证BC也与圆相切.

Answer 1

设A、B、C坐标为：A（a,a^2 - 2）、B（b,b^2 - 2）、C（c,c^2 - 2）,其中 a、b、c 互不相等（否则两个点就重叠了）
利用两点式写出直线AB的方程：
(y - a^2 + 2) / (b^2 - a^2) = (x - a) / (b - a)
y - a^2 + 2 = (x - a) (b + a)
即：
AB：(a+b)x - y - ab - 2 = 0
同理：AC、BC的方程如下：
AC：(a+c)x - y - ac - 2 = 0
BC：(b+c)x - y - bc - 2 = 0
直线AB与圆相切,说明直线离圆心（即原点）距离为1,所以：
|-ab - 2| / √[(a+b)^2 + 1^2] = 1
化简,得：
(1-a^2)*b^2 - 2ab + a^2 - 3 = 0 ………… ①
同理,AC与圆相切,得到：
|-ac - 2| / √[(a+c)^2 + 1^2] = 1
化简,得：
(1-a^2)*c^2 - 2ac + a^2 - 3 = 0 ………… ②
观察 ① ②两个式子,可以发现,b、c都是关于x方程：
(1-a^2)*x^2 - 2ax + a^2 - 3 = 0
的根,而且 b ≠ c,即b、c是上面关于x的方程的两个根,由韦达定理,得：
b + c = 2a / (1-a^2)
b * c = (a^2 - 3) / (1-a^2)
所以：直线 BC 与圆心的距离为：
|-bc - 2| / √[(b+c)^2 + 1^2]
= | [(a^2 - 3)/(1-a^2)] - 2 | / √[(2a / (1-a^2))^2 + 1^2]
= | -a^2 - 1 | / √(4a^2 - (1-a^2)^2)
= (a^2+1) / √(a^2+1)^2
= 1
所以：直线 BC 与圆相切