如图，已知对称轴为x=-32的抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=3，D是抛物线上一点，且DC⊥OC．（1）求点D的坐标及抛物线y=ax2+bx+c的表达式；（2）连接OD，直线y=12x+m与OD交于

Question

如图，已知对称轴为x=-(3)/(2)的抛物线y=ax²+bx+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=3，D是抛物线上一点，且DC⊥OC．
（1）求点D的坐标及抛物线y=ax²+bx+c的表达式；
（2）连接OD，直线y=(1)/(2)x+m与OD交于点E，与y轴交于点F，若OE：DE=1：2，求m的值；
（3）若M是直线EF上一动点，在x轴上方是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线的对称轴为x=-(3)/(2)，经过点A（3，0），
∴

−(b)/(2a)＝−(3)/(2)

9a+3b+6＝0

，解得

a＝−(1)/(3)

b＝−1

，
∴抛物线解析式为y=-(1)/(3)x²-x+6；

（2）∵y=-(1)/(3)x²-x+6，
∴x=0时，y=6，即C点坐标为（0，6），
∴当y=6时，-(1)/(3)x²-x+6=6，
解得x=0或-3，
∴D点坐标为（-3，6），DC=3．
如图，过点E作EG⊥y轴于点G，则EG∥DC，
∴△OEG∽△ODC，
∴(EG)/(DC)=(OG)/(OC)=(OE)/(OD)=(1)/(3)，
∴EG=(1)/(3)DC=1，OG=(1)/(3)OC=2，
∴E点坐标为（-1，2）．
将E点坐标代入y=(1)/(2)x+m，
得2=-(1)/(2)+m，
解得m=

作业帮用户 2017-10-14 举报

问题解析

（1）根据抛物线对称轴得到关于a、b的一个方程，再把点A点坐标代入抛物线解析式，然后解方程组求出a、b的值，即可得解；
（2）先求出抛物线y=-

(1)/(3)x²-x+6与y轴交点C的坐标为（0，6），将y=6代入，求出x的值，得到D点坐标及DC=3，再过点E作EG⊥y轴于点G，由EG∥DC，得到△OEG∽△ODC，根据相似三角形对应边成比例得出(EG)/(DC)=(OG)/(OC)=(OE)/(OD)=(1)/(3)，求出EG，OG的值，得出E点坐标，然后将E点坐标代入y=(1)/(2)x+m，即可求出m的值；
（3）分两种情况进行讨论：①OF为菱形的边时，延长M₁N₁交x轴于点G₁，则M₁N₁⊥x轴．设点M₁的坐标为（a，(1)/(2)a+(5)/(2)），则点N₁的坐标为（a，(1)/(2)a），在Rt△OG₁N₁中，运用勾股定理得出OG₁²+G₁N₁²=ON₁²，列出关于a的方程，解方程即可，同理求出点N₂的坐标；②OF为菱形的对角线时，连接M₃N₃，交OF于点P，根据菱形的性质可知M₃N₃与OF互相垂直平分，则OP=(1)/(2)OF=(5)/(4)，将y=(5)/(4)代入y=(1)/(2)x+(5)/(2)，求出x的值，进而得到点N₃的坐标．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、菱形的性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．

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