如图,E在AC上,D在BC上,且AE：EC=2：3,BD：DC=1：2,AD与BE交与点F.四边形DFEC的面积等于22平方厘米,则三角形ABC的面积.

Question

如图,E在AC上,D在BC上,且AE：EC=2：3,BD：DC=1：2,AD与BE交与点F.四边形DFEC的面积等于22平方厘米,
则三角形ABC的面积 .

Answer 1

延长CF交AB于G.
令△CEF、△CDF的面积分别为x、y,则：x＋y＝22（平方厘米）.
由塞瓦定理,有：（AG/BG）（BD/CD）（CE/AE）＝1,而BD/CD＝1/2、CE/AE＝3/2,
∴（AG/BG）×（1/2）×（3/2）＝1,∴AG/BG＝4/3.
∵BD/CD＝1/2,∴△BFD的面积/△CDF的面积＝1/2,∴△BFD的面积＝y/2.
∵CE/AE＝3/2,∴△CEF的面积/△AEF的面积＝3/2,∴△AEF的面积＝2x/3.
∴△ACF的面积＝△CEF的面积＋△AEF的面积＝x＋2x/3＝5x/3.
　△BCF的面积＝△CDF的面积＋△BFD的面积＝y＋y/2＝3y/2.
由燕尾定理,有：
△ACF的面积/△BCF的面积＝AG/BG＝4/3,∴（5x/3）/（3y/2）＝4/3,
∴5x/3＝（4/3）×（3y/2）＝2y,∴y＝5x/6,∴x＋y＝x＋5x/6＝11x/6＝22,
∴x＝12（平方厘米）,进而得：y＝22－12＝10（平方厘米）.
于是：
△BCE的面积＝DFEC的面积＋△BFD的面积＝22＋y/2＝22＋10/2＝27（平方厘米）,
而△BCE的面积/△ABE的面积＝CE/AE＝3/2,
∴△ABE的面积＝△BCE的面积/（3/2）＝27/（3/2）＝18（平方厘米）.
∴△ABC的面积＝△BCE的面积＋△ABE的面积＝27＋18＝45（平方厘米）.