求三角形面积S的最大值.已知△ABC三边a、b、c与面积S有如下关系:S=a^2-(b-c)^2且b+c=8.求△ABC面积S的最大值.

Question

求三角形面积S的最大值.
已知△ABC三边a、b、c与面积S有如下关系:S=a^2-(b-c)^2且b+c=8.求△ABC面积S的最大值.

Answer 1

S=a²-(b-c)²
=a²-b²-c²+2bc
=-2bc×cosA+2bc
=2bc(1-cosA)
又因为S=(1/2)×bc×sinA
∴2-2cosA=(1/2)×sinA
即sinA=4-4cosA
解得：sinA=8/17
cosA=15/17
所以：S=(1/2)×bc×sinA=(1/2)×bc×(8/17)=(4/17)×bc≤(4/17)×[(b+c)/2]²=4/17×（8/2）²=64/17.
即：△ABC面积S的最大值是64/17.