四棱锥的底面是菱形，其对角线，，都与平面垂直，，则四棱锥与公共部分的体积为A．B．C．D．

Question

四棱锥 的底面 是菱形，其对角线 ， ， 都与平面 垂直， ，则四棱锥 与 公共部分的体积为

A．	B．
C．	D．

Answer 1

四棱锥 的底面 是菱形，其对角线 ， ， 都与平面 垂直， ，则四棱锥 与 公共部分的体积为

A．	B．
C．	D．

A

分析：根据题意，先设EC与AF交与点O，过点O作OG⊥面ABCD，垂足为G；由图分析可得，四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分为四棱锥O-ABCD；根据线面垂直的性质和平面的基本性质，可得CF、OG、AE两两平行且共面；进而在平面FCAE中，计算可得OG的值，依题意，易得底面菱形ABCD的面积，由棱锥体积公式，计算可得答案．

根据题意，设EC与AF交与点O，过点O作OG⊥面ABCD，垂足为G；
分析可得，四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分为四棱锥O-ABCD；
依题意，AE，CF都与平面ABCD垂直，OG⊥面ABCD，
可得CF、OG、AE两两平行且共面；
又由AE=2，CF=4，
由平行线的性质，可得OG= ，
菱形中，对角线AC=4，BD=2 ，可得其面积S= ×2 ×4=4 ，
故其体积为 × ×4 = ；
故选A．