Sn=1+1+2+1+2+3+1+2+3+4+.+n的和可以用公式表示吗?

Question

Sn=1+1+2+1+2+3+1+2+3+4+.+n的和可以用公式表示吗?

Answer 1

Sn=1+1+2+1+2+3+1+2+3+4.+1+2+3+4+5+.+n
=1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+..+n)
因为：1+2+...+n=n(n+1)/2=[n^2+n]/2
所以Sn＝(1^2+1+2^2+2+...+n^2+n)/2
=[(1^2+2^2+3^2+..+n^2)+(1+2+...+n)]/2
其中1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 （下面有证明）
1+2+...+n=n(n+1)/2
所以sn=[(1^2+2^2+3^2+..+n^2)+(1+2+...+n)]/2
=[n(n+1)(2n+1)/6 +n(n+1)/2]/2
=n(n+1)(n+2)/6
其中：1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6