（2006•重庆二模）设x1，x2是函数f（x）=a3x3+b2x2−a2x（a＞0）的两个极值点，且|x1|+|x2|=2．（Ⅰ）证明：0＜a≤1；（Ⅱ）证明：|b|≤439．

Question

（2006•重庆二模）设x₁，x₂是函数f（x）=(a)/(3)x3+(b)/(2)x2−a2x（a＞0）的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=2．
（Ⅰ）证明：0＜a≤1；
（Ⅱ）证明：|b|≤(4√(3))/(9)．

Answer 1

证明：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=ax²+bx-a²
∵x₁，x₂是f（x）的两个极值点，
∴x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个实数根．…（3分）
∵a＞0，∴x1•x2＝−a＜0，x1+x2＝−(b)/(a)
∴|x1|+|x2|＝|x1−x2|＝√((b2)/(a2)+4a)
∵|x₁|+|x₂|=2
∴(b2)/(a2)+4a＝4即b²=4a²-4a³
∵b²≥0，∴0＜a≤1…（7分）
（Ⅱ）设g（a）=4a²-4a³，则g′（a）=8a-12a²=4a（2-3a）
由g′(a)＞0，0＜a＜(2)/(3)；g′(a)＜0，(2)/(3)＜a≤1得g（a）在区间(0，(2)/(3))上是增函数，在区间((2)/(3)，1)上是减函数，…（11分）
∴g(a)max＝g((2)/(3))＝(16)/(27)
∴|b|≤(4√(3))/(9)…（13分）