在△ABC中，AD为中线，P为AD上任一点，过P的直线交AB于M，交AC于N，AM=AN，若AB≠AC时，求证：PMPN=ACAB．

Question

在△ABC中，AD为中线，P为AD上任一点，过P的直线交AB于M，交AC于N，AM=AN，若AB≠AC时，求证：(PM)/(PN)=(AC)/(AB)．

Answer 1

证明：过P作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过M作MG∥AC交AD于G，EH∥AC交AD于H，
∴EH∥MG，
∵EF∥BC，
∴(AC)/(AF)=(AB)/(AE)，(PE)/(BD)=(AP)/(AD)=(PF)/(CD)，
∵BD=CD，
∴(AC)/(AB)=(AF)/(AE)，PE=PF，
在△APF与△EHP中，

∠H=∠HAC

∠EPH=∠APF

PE=PF

，
∴△APF≌△EHP，
∴HE=AF，∴(AC)/(AB)=(HE)/(AE)，
∵EH∥MG，
∴△AMG∽△AEH，
∴(AM)/(AE)=(MG)/(EH)，
即(EH)/(AE)=(MG)/(AM)，
∴(AC)/(AB)=(MG)/(AM)，
∵MG∥AC，
∴△PMG∽△APN，
∴(MG)/(AN)=(MP)/(PN)，
∵AN=AM，
∴(MG)/(AM)=(MP)/(PN)，
∴(PM)/(PN)=(AC)/(AB)．