（2013•茂名二模）已知函数f（x）=-x3+x2+bx，g（x）=alnx，（a＞0）．（1）当a=x时，求函数g（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值点，求实数b的取值范围；（3）当b=0时，令F（x）=f(x)，x＜1g

Question

（2013•茂名二模）已知函数f（x）=-x³+x²+bx，g（x）=alnx，（a＞0）．
（1）当a=x时，求函数g（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点，求实数b的取值范围；
（3）当b=0时，令F（x）=

f(x)，x＜1

g(x)，x≥1

．P（x₁，F（x₁）），Q（x₂，F（x₂））为曲线y=F（x）上的两动点，O为坐标原点，能否使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由．

Answer 1

（1）当a=x时，函数g（x）=xlnx，∴g′（x）=lnx+1，令g′（x）＜0解得0＜x＜1e，∴函数g（x）的单调递减区间为（0，1e），令g′（x）＞0解得x＞1e，∴函数g（x）的单调递增区间为（1e，+∞）；（2）∵f′（x）=-3x2...