设ab为抛物线y^2=2px上两相异点则向量oa和向量ob的和的模的平方-向量ab的...设ab为抛物线y^2=2px上两相异点则向量oa和向量ob的和的模的平方-向量ab的模的平方的最小值p＞0

Question

设ab为抛物线y^2=2px上两相异点则向量oa和向量ob的和的模的平方-向量ab的...
设ab为抛物线y^2=2px上两相异点则向量oa和向量ob的和的模的平方-向量ab的模的平方的最小值
p＞0

Answer 1

∵点A、B在抛物线y^2＝2px上,即在x＝y^2/（2p）上.
∴可设点A、B的坐标分别为（m^2/（2p）,m）、（n^2/（2p）,n）.
∴向量OA＝（m^2/（2p）,m）、向量OB＝（n^2/（2p）,n）,
∴向量OA＋向量OB＝（n^2/（2p）＋m^2/（2p）,n＋m）.
显然有：向量AB＝（n^2/（2p）－m^2/（2p）,n－m）.
∴｜向量OA＋向量OB｜^2－｜向量AB｜^2
＝［n^2/（2p）＋m^2/（2p）］^2＋（n＋m）^2－［n^2/（2p）－m^2/（2p）］^2－（n＋m）^2］
＝4［n^2/（2p）］［m^2/（2p）］＋4mn
＝（mn/p）^2＋4p（mn/p）＋4p^2－4p^2
＝（mn/p＋2p）^2－4p^2.
∴当mn/p＋2p＝0时,｜向量OA＋向量OB｜^2－｜向量AB｜^2有最小值为：－4p^2.