在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2cosay=2+2sina(a为参数)M是C1的动点,P点满足向量OP=2倍的向量OM,P点的轨迹方程为曲线C2.(1)求C2的方程(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线

Question

在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2cosa y=2+2sina(a为参数) M是C1的动点,P点满足
向量OP=2倍的向量OM,P点的轨迹方程为曲线C2.
(1)求C2的方程
(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=π/3与C1的异于极点的坐标的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求AB的模长

Answer 1

（1）设P（x,y）,则由条件知M（ x/2, y/2）．由于M点在C1上,
所以 x/2=2cosα
y/2=2+2sinα
即x=4cosα
y=4+4sinα
从而C2的参数方程为
x=4cosα
y=4+4sinα（α为参数）
（2）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．
射线θ= π/3与C1的交点A的极径为ρ1=4sin π/3,
射线θ= π/3与C2的交点B的极径为ρ2=8sin π/3．
所以|AB|=|ρ2-ρ1|= 2√3．