（2011•重庆三模）已知动点M到点F(p2，0)(p＞0)的距离比它到y轴的距离多p2．（I）求动点M的轨迹方程；（II）设动点M的轨迹为C，过点F的直线l与曲线C交于A、B两点，若y轴正半轴上存在点P使得

Question

（2011•重庆三模）已知动点M到点F((p)/(2)，0)(p＞0)的距离比它到y轴的距离多(p)/(2)．
（I）求动点M的轨迹方程；
（II）设动点M的轨迹为C，过点F的直线l与曲线C交于A、B两点，若y轴正半轴上存在点P使得△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．

Answer 1

（I）由题知，设M（x，y），则因为点M到点F的距离与它到直线x=-(p)/(2)的距离相等，所以√((x−(p)/(2))2+y2)＝|x|+(p)/(2)，可得M的轨迹方程为y²=2px或x≤0．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点D（x₀，y₀），直线l：y＝k(x−(p)/(2))，
联立

y＝k(x−(p)/(2))

y2＝2px

，得k2x2−p(2+k2)x+(k2p2)/(4)＝0，
则x1+x2＝(p(2+k2))/(k2)，x1x2＝(p2)/(4)，
∴y1+y2＝k(x1+x2−p)＝(2p)/(k)，
y1y2＝−√(4p作业帮用户2017-10-11举报问题解析（I）由题知，点M到点F的距离与它到直线x=-(p)/(2)的距离相等，可得√((x−(p)/(2))2+y2)＝|x|+(p)/(2)，即可求出点M的轨迹方程．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点D（x0，y0），直线l：y＝k(x−(p)/(2))，联立y＝k(x−(p)/(2))y2＝2px，得k2x2−p(2+k2)x+(k2p2)/(4)＝0，由此入手，能求出直线l的方程．名师点评本题考点：抛物线的应用；轨迹方程；抛物线的简单性质．考点点评：本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)