（2014•安庆三模）在直角坐标系xOy中，点p是单位圆上位于第一象限的动点，过p作x轴的垂线与射线y=xtanθ（x≥0，0＜θ＜π2）交于点Q，与x轴交于点M，射线与单位圆交于N，设∠MOP=α，且α∈

Question

（2014•安庆三模）在直角坐标系xOy中，点p是单位圆上位于第一象限的动点，过p作x轴的垂线与射线y=xtanθ（x≥0，0＜θ＜(π)/(2)）交于点Q，与x轴交于点M，射线与单位圆交于N，设∠MOP=α，且α∈（0，θ）
（1）若θ=(π)/(3)，sinα=(3)/(5)，求cos∠POQ；
（2）若θ=(π)/(4)，求四边形OMPN面积的最大值，
（3）并求取最大值时的α值．

Answer 1

（1）由题意，∠MOQ=(π)/(3)，∠POQ=∠MOQ-∠∠MOP=(π)/(3)-α
∵sinα=(3)/(5)，α∈(0，(π)/(2))，∴cosα=(4)/(5)．
所以cos∠POQ=cos（(π)/(3)-α）=cos(π)/(3)cosα+sin(π)/(3)sinα=(4+3√(3))/(10)．
（2）∵S_OMPN=S_△OMP+S_△OPN=(1)/(2)cosαsinα+(1)/(2)sin（(π)/(4)-α）
=(1)/(2)cosαsinα+(√(2))/(4)（sinα-cosα）．
令sinα-cosα=t，∵α∈（0，(π)/(4)），则t∈（0，1），
∴S_OMPN=(1)/(4)（1-t²）-(√(2))/(4)t=-(1)/(4)(t−

作业帮用户 2016-12-08 举报

问题解析

（1）由题意求出sinα和cosα的值，再根据cos∠POQ=cos（(π)/(3)-α）．利用两角差的余弦公式计算求得结果．
（2）根据S_OMPN=S_△OMP+S_△OPN=(1)/(2)cosαsinα+(√(2))/(4)（sinα-cosα）．令sinα-cosα=t，根据 S_OMPN=-(1)/(4)(t−(√(2))/(2))2+(3)/(8)，利用二次函数的性质求得四边形OMPN面积的最大值．
（3）由（2）可得t=(√(2))/(2)时，S_OMPN 有最大值(3)/(8)，此时，cos（α+(π)/(4)）=(1)/(2)，根据α+(π)/(4)的范围，可得α的值．

名师点评

本题考点：

三角函数中的恒等变换应用；任意角的三角函数的定义．

考点点评：

本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，二次函数的性质，属于中档题．

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