将任意六个整数填入2×3的方格中.证明：必定存在一个矩形,它的四个角上的四个数字之和为偶数

Question

将任意六个整数填入2×3的方格中.证明：必定存在一个矩形,它的四个角上的四个数字之和为偶数

Answer 1

我们假设填入6个方格的自然数是这么填写的：
ABC
DEF
这样,会有3个矩形：2×2的两个,2×3的一个,它们的4个角上的数的和分别是：
S1=A+B+D+E
S2=B+E+C+F
S3=A+C+D+F
则 S1+S2=A+C+D+F+2B+2E=S3+2(B+E)
如果S1、S2中有偶数的话,那么原结果成立.
如果S1、S2都是奇数,那么S1+S2肯定是偶数,S3=S1+S2-2(B+E)肯定也是偶数,结论成立.
综上所述,无论ABCDEF是怎么样的6个自然数,S1、S2、S3中总有一个是偶数,所以结论成立.