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证明n维向量组a1,a2,…,an线性无关的充分必要条件是：任一n维向量a都可以由它们线性表示.
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证明n维向量组a1,a2,…,an线性无关的充分必要条件是：任一n维向量a都可以由它们线性表示.
▼优质解答
答案和解析
证明：充分性：若任一n维向量a都可以n维向量组a1,a2,…,an线性表示,
那么,特别地,n维单位坐标向量组也都可以由它们线性表示,
又向量组a1,a2,…,an也可由n维单位坐标向量线性表示,
所以,向量组a1,a2,…,an与n维单位坐标向量组等价,
而n维单位坐标向量组是线性无关组,
从而向量组a1,a2,…,an也是线性无关组.
必要性 若n维向量组a1,a2,…,an线性无关,又任意n+1个n维向量必线性相关,
设a是任一n维向量,则向量组a,a1,a2,…,an线性相关,
故a可以由a1,a2,…,an线性表示.
那么,特别地,n维单位坐标向量组也都可以由它们线性表示,
又向量组a1,a2,…,an也可由n维单位坐标向量线性表示,
所以,向量组a1,a2,…,an与n维单位坐标向量组等价,
而n维单位坐标向量组是线性无关组,
从而向量组a1,a2,…,an也是线性无关组.
必要性 若n维向量组a1,a2,…,an线性无关,又任意n+1个n维向量必线性相关,
设a是任一n维向量,则向量组a,a1,a2,…,an线性相关,
故a可以由a1,a2,…,an线性表示.
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