如图所示，电动机带动滚轮做逆时针匀速转动，在滚轮的摩擦力作用下，将一金属板从斜面底端A送往上部，已知斜面光滑且足够长，倾角θ=30°，滚轮与金属板的切点B到斜面底端A的距离为L=6

Question

如图所示，电动机带动滚轮做逆时针匀速转动，在滚轮的摩擦力作用下，将一金属板从斜面底端A送往上部，已知斜面光滑且足够长，倾角θ=30°，滚轮与金属板的切点B到斜面底端A的距离为L=6.5m，当金属板的下端运动到切点B处时，立即提起滚轮使它与板脱离接触．已知板之后返回斜面底部与挡板相撞后立即静止，此时放下滚轮再次压紧板，再次将板从最底端送往斜面上部，如此往复．已知板的质量为m=1×10³kg，滚轮边缘线速度恒为v=4m/s，滚轮对板的正压力F_N=2×10⁴N，滚轮与板间的动摩擦因数为μ=0.35，取g=10m/s²．求：
（1）在滚轮作用下板上升的加速度；
（2）板加速至与滚轮速度相同时前进的距离；
（3）板往复运动的周期．

Answer 1

（1）对杆进行受力分析
杆受重力G、斜面对杆的弹力F₁，滚轮对杆的压力F₂和滚轮对杆沿斜面向上的摩擦力f，四个力作用．建立直角坐标系，有：
F_合x=f-Gsinθ=ma          ①
F_合y=F₁-F₂-mgcosθ=0   
∵轮对杆的压力F2=2×104N
∴轮对杆的摩擦力f=μF_N=μF₂，代入①式得杆产生的加速度：
a=(f−Gsinθ)/(m)=2m/s²
（2）由题意知，杆做初速度为0，加速度a=2m/s²的匀加速运动，末速度与滚轮边缘线速度大小相同即v=4m/s．
根据匀加速直线运动速度位移关系可得：
v²=2ax
即位移：x=(v2)/(2a)=(42)/(4)m=4m．
（3）根据题意知，杆在一个同期中的运动分为三个过程：
第一个过程杆向上做匀加速直线运动时间t₁=(v)/(a)＝(4)/(2)＝2s
第二个过程杆向上做匀速直线运动，时间t₂=(L−x)/(v)＝0.625s
对金属板匀减速上升和匀加速下落全过程应有：L=-vt₃+(1)/(2)gsinθ•t32，
代入数据解得：t₃=2.6s
板往复运动的周期T=t₁+t₂+t₃=5.225s
答：（1）在滚轮作用下板上升的加速度为2m/s²；
（2）板加速至与滚轮速度相同时前进的距离为4m；
（3）板往复运动的周期为5.225s．