双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2离心率为e.过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2的值是（）A.1+22B.3+22C.4-22D.

Question

双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂离心率为e.过F₂的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F₁AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e²的值是（　　）
A. 1+2√(2)
B. 3+2√(2)
C. 4-2√(2)
D. 5-2√(2)

Answer 1

设|AF₁|=|AB|=m，则|BF₁|=√(2)m，|AF₂|=m-2a，|BF₂|=√(2)m-2a，
∵|AB|=|AF₂|+|BF₂|=m，
∴m-2a+√(2)m-2a=m，
∴4a=√(2)m，∴|AF₂|=（1-(√(2))/(2)）m，
∵△AF₁F₂为Rt三角形，∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²
∴4c²=（(5)/(2)-√(2)）m²，
∵4a=√(2)m
∴4c²=（(5)/(2)-√(2)）×8a²，
∴e²=5-2√(2)
故选D．