已知F1,F2是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点,P为双曲线左支上的任一点,PF1^2/PF的最小值为8a则离心率的范围是多少

Question

已知F1,F2是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点,P为双曲线左支上的任一点,PF1^2/PF的最小值为8a则离心率的范围是多少

Answer 1

因为点在左支PF2-PF1=2A,
所以PF1=PF2-2A
代入要求的式子即PF1^2/PF2={PF1^2+4A^2-4A*PF2}/PF2=PF2+4A^2/PF2-4A
令Y=PF2+4A^2/PF2
此式是对号函数,在根下4A^2即2A处取最小值,当02A+C,2A+C又大于2A,所以PF2=2A+C时该式取得最小值8A,代入化简得16A^2+8AC-C^2=0,可解C=(8+8*根号2)*C,所以E=C/A=8+8*根号2
做法对了,答案可能会有错,因为本人计算能力不大好,自己再算算