如图，海上有A，B两个小岛相距10km，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为60°，现从船O上派下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业，且OC=BO．设AC=xkm．（1）若AO=1033km，求出x的取值；（2）用x分

Question

如图，海上有A，B两个小岛相距10km，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为60°，现从船O上派下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业，且OC=BO．设AC=xkm．
（1）若AO=(10√(3))/(3)km，求出x的取值；
（2）用x分别表示OA²+OB²和OA•OB，并求出x的取值范围．

Answer 1

（1）在△OAB中，AO=(10√(3))/(3)km，∠AOB=60°，AB=10km，
由余弦定理知：AB²=OA²+OB²-2•OA•OB•cos60°，
即有：100=(100)/(3)+OB²-2×(10√(3))/(3)×OB×(1)/(2)，从而解得：OB=(20√(3))/(3)．
在△OAC中，OC=OB=(20√(3))/(3)，OA=(10√(3))/(3)，∠AOC=120°，
由余弦定理知：AC²=OA²+OC²-2•OA•OC•cos120°，
即有：AC²=(400)/(3)+(100)/(3)-2×(20√(3))/(3)×(10√(3))/(3)×(−(1)/(2))=(700)/(3)，从而解得：AC=(10√(21))/(3)．
（2）在△OAC中，∠AOC=120°，AC=x，
由余弦定理得，OA²+OC²-2OA•OC•cos120°=x²，
又OC=BO，
所以OA²+OB²-2OA•OB•cos120°=x² ①，…（7分）
在△OAB中，AB=10，∠AOB=60°
由余弦定理得，
OA²+OB²-2OA•OB•cos60°=100 ②，…（9分）
①+②得OA²+OB²=(x2+100)/(2)，
①-②得4OA•OB•cos60°=x²-100，即OA•OB=(x2−100)/(2)，…（10分）
又OA²+OB²≥2OA•OB，所以(x2+100)/(2)≥2x(x2−100)/(2)，即x²≤300，
又OA•OB=(x2−100)/(2)＞0，即x²＞100，所以10＜x≤10√(3)      …（12分）