四个纪念币A、B、C、D，投掷时正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．纪念币ABCD概率1212aa这四个纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的个数．（1）求ξ的分布

Question

四个纪念币A、B、C、D，投掷时正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．

纪念币	A	B	C	D
概率	(1)/(2)	(1)/(2)	a	a

这四个纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的个数．
（1）求ξ的分布列及数学期望；
（2）在概率P （ξ=i ） （i=0，1，2，3，4）中，若P （ξ=2 ）的值最大，求a的取值范围．

Answer 1

（1）P （ξ）是ξ个正面向上的概率，其中ξ的可能取值为0，1，2，3，4．
∴P （ξ=0）=C₂⁰（1-(1)/(2)）²C₂⁰（1-a）²=(1)/(4)（1-a）²，
P （ξ=1）=C₂¹•(1)/(2)（1-(1)/(2)）C₂⁰（1-a）²+C₂⁰（1-(1)/(2)）²C₂¹a（1-a）=(1)/(2)（1-a）
P （ξ=2）=C₂²•（(1)/(2)）²C₂⁰（1-a）²+C₂¹•(1)/(2)（1-(1)/(2)）C₂¹a（1-a）+C₂⁰（1-(1)/(2)）²C₂²a²=(1)/(4)（1+2a-2a²），
P （ξ=3）=C₂²•（(1)/(2)）²C₂¹a（1-a）+C₂¹•(1)/(2)（1-(1)/(2)）C₂²a²=(a)/(2)，
P （ξ=4）=C₂²（(1)/(2)）²C₂²a²=(1)/(4)a²．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	(1)/(4)（1-a）2	(1)/(2)（1-a）	(1)/(4)（1+2a-2a2）	(a)/(2)	(1)/(4)a2

∴ξ的数学期望为：Eξ=0×(1)/(4)（1-a）²+1×(1)/(2)（1-a）+2×(1)/(4)（1+2a-2a²）+3×

作业帮用户 2016-12-02 举报

问题解析

（1）其中ξ的可能取值为0，1，2，3，4，然后根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可；
（2）根据0＜a＜1可知P （ξ=0）＜P （ξ=1），P （ξ=4）＜P （ξ=3）只需P （ξ=2）-P （ξ=1）≥0且P （ξ=2）-P （ξ=3）≥0，解之即可求出a的取值范围．

名师点评

本题考点：

离散型随机变量的期望与方差；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列．

考点点评：

本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的概率分布与数学期望，同时考查了计算能力，属于中档题．

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