在等差数列{an}中，满足3a5=5a8，Sn是数列{an}的前n项和．（Ⅰ）若a1＞0，当Sn取得最大值时，求n的值；（Ⅱ）若a1=-46，记bn=Sn−ann，求bn的最小值．

Question

在等差数列{a_n}中，满足3a₅=5a₈，S_n是数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）若a₁＞0，当S_n取得最大值时，求n的值；
（Ⅱ）若a₁=-46，记b_n=(Sn−an)/(n)，求b_n的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，则
由3a₅=5a₈，得3（a₁+4d）=5（a₁+7d），∴d=-(2)/(23)a₁．
∴S_n=na₁+(n(n−1))/(2)×（-(2)/(23)a₁）=-(1)/(23)a₁n²+(24)/(23)a₁n=-(1)/(23)a₁（n-12）²+(144)/(23)a₁．
∵a₁＞0，∴当n=12时，S_n取得最大值．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a₁=-46，得d=-(2)/(23)×（-46）=4，
∴a_n=-46+（n-1）×4=4n-50，
S_n=-46n+(n(n−1))/(2)×4=2n²-48n．
∴b_n=(Sn−an)/(n)=(2n2−52n+50)/(n)=2n+(50)/(n)-52≥2√(2n×(50)/(n))-52=-32，
当且仅当2n=(50)/(n)，即n=5时，等号成立．
故b_n的最小值为-32．…（12分）