x^2/(x^2+y^2+xy)+y^2/(y^2+z^2+yz)+z^2/(z^2+x^2+xz)>1x,y,z为正数.如何证明?一楼的你把123代入就知道了还有,能不能用高中的方法..就是不用那么复杂的什么什么定理的..

Question

x^2/(x^2+y^2+xy)+y^2/(y^2+z^2+yz)+z^2/(z^2+x^2+xz)>1
x,y,z为正数.如何证明?
一楼的你把1 2 3 代入就知道了
还有,能不能用高中的方法..就是不用那么复杂的什么什么定理的..

Answer 1

纠错：本题应该是x^2/(x^2+y^2+xy)+y^2/(y^2+z^2+yz)+z^2/(z^2+x^2+xz)>=1
证明如下：
原不等式等价于：
1/[1+y/x+(y/x)^2]+1/[1+z/y+(z/y)^2]+1/[1+x/z+(x/z)^2]>=1
设y/x=a,z/y=b,x/z=c
则原不等式化为已知条件abc=1
证明：1/(1+a+a^2)+1/(1+b+b^2)+1/(1+c+c^2)>=1
考虑证明：1/(a+a+a^2)+1/(1+b+b^2)>=(1+ab)/(1+ab+a^2b^2)
上式等价于(1-ab^2)^2+(1-a^2b)^2+a^2b^2(a-b)^2>=0{去分母配方可得}
上式显然成立.
于是1/(a+a+a^2)+1/(1+b+b^2)>=(1+ab)/(1+ab+a^2b^2)是成立的.
利用该式我们有：
1/(1+a+a^2)+1/(1+b+b^2)+1/(1+c+c^2)>=(1+ab)/(1+ab+a^2b^2)+1/(1+c+c^2)
利用条件abc=1有(1+ab)/(1+ab+a^2b^2)=(c^2+c)/(1+c+c^2)
于是(1+ab)/(1+ab+a^2b^2)+1/(1+c+c^2)=(c^2+c)/(1+c+c^2)+1/(1+c+c^2)=1
也即1/(1+a+a^2)+1/(1+b+b^2)+1/(1+c+c^2)>=1成立.
原不等式得证.