假设某企业在两个相互分割的市场上出手同一种产品，两个市场的需求函数分别是p1=18-2Q1，p2=12-2Q2，其中p1，p2分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨），Q1和Q2分别表示该产品在

Question

假设某企业在两个相互分割的市场上出手同一种产品，两个市场的需求函数分别是p₁=18-2Q₁，p₂=12-2Q₂，其中p₁，p₂分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨），Q₁和Q₂分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数式C=2Q+5，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即Q=Q₁+Q₂．
（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；
（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种策略的总利润大小．

Answer 1

（1）根据题意，总总销售额为：
R=p₁Q₁+p₂Q₂=（18-2Q₁）Q₁+（12-2Q₂）Q₂
=-2Q12-2Q22+18Q₁+12Q₂
总成本为：
C=2Q+5=2（Q₁+Q₂）+5；
因此，总利润为：
L=R-C=-2Q12-2Q22+18Q₁+12Q₂-[2（Q₁+Q₂）+5]
=-2Q12-2Q22+16Q₁+10Q₂-5
分别对Q₁和Q₂求导，得：
LQ1′=-4Q₁+16；
LQ2′=-4Q₂+10；
令：LQ1′=0，LQ2′=0；
得：Q₁=4，Q₂=2.5
此时：p₁=10，p₂=7
因驻点（4，2.5）是唯一驻点，且是实际问题，一定存在最大值．
故总利润在该驻点处取的最大值．
此时，最大利润为：
L=-2×4²-2×2.5²+16×4+10×2.5-5
=39.5（万元）
故当采取价格差别策略时；当第一市场定价为10万元每吨，第二市场定价为7万元每吨时，利润最大．
此时，第一市场销售量为4万吨，第二市场销售量为2.5万吨．
（2）∵价格无差异，即p₁=p₂
根据：p₁=18-2Q₁；p₂=12-2Q₂
得到：Q₁-Q₂-3=0
根据（1）的结论，总利润为：
L=-2Q12-2Q22+16Q₁+10Q₂-5
构造拉格朗日函数有：
F=-2Q12-2Q22+16Q₁+10Q₂-5+λ（Q₁-Q₂-3）
于是有：
FQ1′=-4Q₁+16+λ；
FQ2′=-4Q₂+10+λ；
F_λ′=Q₁-Q₂-3．
令：FQ1′=0；FQ2′=0；F_λ′=0．得：

作业帮用户 2017-10-16 举报

问题解析

（1）根据题意，列出利润函数，再分别求偏导数，即可求解；
（2）根据p₁=p₂，得到两个市场的销售量的约束关系，再构造拉格朗日函数即可求解．

名师点评

本题考点：

利用拉格朗日乘数法求条件极值．

考点点评：

本题主要考察函数求极值的实际应用，从本题也可以看出，拉格朗日函数在某些情况下会出现无解的情况，需要注意．

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