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1.已知f(x)为sint/t在1~x^2上的定积分,求xf(x)在0~1上的定积分.2.已知f(x)在R上连续且满足f(x-u)e^udu在0~x上的积分=sinx,求f(x).电脑盲不会打积分符号,这样应该能看明白吧.
题目详情
1.已知f(x)为sint/t在1~x^2上的定积分,求xf(x)在0~1上的定积分.
2.已知f(x)在R上连续且满足f(x-u)e^udu在0~x上的积分=sinx,求f(x).
电脑盲不会打积分符号,这样应该能看明白吧.
2.已知f(x)在R上连续且满足f(x-u)e^udu在0~x上的积分=sinx,求f(x).
电脑盲不会打积分符号,这样应该能看明白吧.
▼优质解答
答案和解析
1、注意到f'(x)=2x(sinx^2)/x^2=(2/x)sinx^2,f(1)=0,则xf(x)的积分=积分(从0到1)f(x)d(0.5x^2)=0.5x^2f(x)|上限1下限0--积分(从0到1)0.5x^2f'(x)dx=-0.5积分(从0到1)2xsinx^2dx=0.5cosx^2|上限1下限0=0.5(cos1-1).
2、积分做变量替换x-u=t,t从x到0,原积分化为积分(从0到x)f(t)e^(x-t)dt=e^x积分(从0到x)f(t)e^(-t)dt=sinx,两边对x求导得e^x积分(从0到x)f(t)e^(-t)dt+f(x)=cosx,第一项就是sinx,故
f(x)=cosx-sinx
2、积分做变量替换x-u=t,t从x到0,原积分化为积分(从0到x)f(t)e^(x-t)dt=e^x积分(从0到x)f(t)e^(-t)dt=sinx,两边对x求导得e^x积分(从0到x)f(t)e^(-t)dt+f(x)=cosx,第一项就是sinx,故
f(x)=cosx-sinx
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