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已知函数f(x)=asin2x+bsinx+c,其中a,b,c是非零实数,甲、乙两人做一游戏,他们轮流确定系数a,b,c(如甲令b=1,乙令a=-2,甲再令c=3)后,如果对于任意实数x,f(x)≠0,那么甲得胜,如
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已知函数f(x)=asin2x+bsinx+c,其中a,b,c是非零实数,甲、乙两人做一游戏,他们轮流确定系数a,b,c(如甲令b=1,乙令a=-2,甲再令c=3)后,如果对于任意实数x,f(x)≠0,那么甲得胜,如果存在实数x,使f(x)=0,那么乙得胜,甲先选数,他是否有必胜策略?为什么?如果a,b,c是任意实数,结论如何?为什么?
▼优质解答
答案和解析
(1)若a,b,c是非零实数,则甲有必胜策略,理由如下:
①甲先确定b值,b≠0,
②不论乙确定a还是c,甲总能确定另外一个系数c或者a,使△=1-ac<0,此时方程ax2+bx+c=0无解,
则对于任意实数x,f(x)≠0,
即甲必胜策略为:先确定b值,再根据乙确定的值,确定一个使△=1-ac<0的值.
(2)如果a,b,c是任意实数,
①若甲先确定a,或b值,则只要乙确定c=0,则乙胜,
故甲必定先确定c值,且c≠0;
②此时,乙若确定b值,则甲总能确定另外一个系数a使△=1-ac<0,此时方程ax2+bx+c=0无解,
则对于任意实数x,f(x)≠0,此时甲胜,
故乙必定先确定a值,
③若乙确定的a=0,则甲只要令b=0,方程就无解,甲胜,
故乙必确定的a≠0,
④若乙确定的a≠0,为使方程有解,乙确定的a值必与c值异号,
且为保证方程ax2+bx+c=0在[-1,1]上必有解,
可使|
|≤1,则乙还胜,
故乙有必胜策略.
①甲先确定b值,b≠0,
②不论乙确定a还是c,甲总能确定另外一个系数c或者a,使△=1-ac<0,此时方程ax2+bx+c=0无解,
则对于任意实数x,f(x)≠0,
即甲必胜策略为:先确定b值,再根据乙确定的值,确定一个使△=1-ac<0的值.
(2)如果a,b,c是任意实数,
①若甲先确定a,或b值,则只要乙确定c=0,则乙胜,
故甲必定先确定c值,且c≠0;
②此时,乙若确定b值,则甲总能确定另外一个系数a使△=1-ac<0,此时方程ax2+bx+c=0无解,
则对于任意实数x,f(x)≠0,此时甲胜,
故乙必定先确定a值,
③若乙确定的a=0,则甲只要令b=0,方程就无解,甲胜,
故乙必确定的a≠0,
④若乙确定的a≠0,为使方程有解,乙确定的a值必与c值异号,
且为保证方程ax2+bx+c=0在[-1,1]上必有解,
可使|
c |
a |
故乙有必胜策略.
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