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设矩阵A,B,C为n阶矩阵,且对任意C,由ABC=0可推出BC=0,试证：r(AB)=r(B)
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设矩阵A,B,C为n阶矩阵,且对任意C,由ABC=0可推出BC=0,试证：r(AB)=r(B)
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答案和解析
由已知,对任一n维列向量x,都可由 ABx = 0 推出 Bx=0
所以 齐次线性方程组 ABx = 0 与 Bx=0 同解
所以 r(AB)=r(B)
所以 齐次线性方程组 ABx = 0 与 Bx=0 同解
所以 r(AB)=r(B)
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