(1)求证:若a1,a2是正实数,则有a1^2/a2+a2^2/a1≥a1+a2;(2)请你把上述不等式推广到

Question

(1)求证:若a1,a2是正实数,则有a1^2/a2+a2^2/a1≥a1+a2;(2)请你把上述不等式推广到

Answer 1

推广 a1^2/a2+a2^2/a3+a3^2/a4+……an^2/a1>=a1+a2+……an
由柯西不等式
【(a1)^2+(a2)^2+...+(an)^2】【(b1)^2+(b2)^2+...（bn)^2】≥(a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2
等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn
【(√a2)^2+...+(√an)^2+(√a1)^2】【（a1/√a2）^2+（a2/√a3）^2+……（an/√a1）^2】
≥(√a2*a1/√a2+√a3*a2/√a3+……+√a1*an/√a1)^2
也就是（a1+a2+……an）【（a1/√a2）^2+（a2/√a3）^2+……（an/√a1）^2】≥
（a1+a2+……an）^2
即a1^2/a2+a2^2/a3+a3^2/a4+……an^2/a1>=a1+a2+……an
像你那样推广的话应是
a1^n/a2a3a4...an+a2^n/a1a3a4...an+...an^n/a1a2a3...a(n-1)≥a1+a2+a3+...+an
上面柯西的那种是只将元素个数变为了n,次数还是2次,这种是元素个数与次数都变为了n
不管怎么变,右边只有一次项a1,a2……,所以左边每一项都要同样是一次,
a1^2/a2 相当于二次项除以一次项=一次项,a1^n/a2a3a4...an是n次项除以（n-1）次项=一次项
也就是左右次数要相等,这就是推广规则