双曲线.斜率.已知A、B、P是双曲线x^2/a^2-y^2-b^2=1上不同的三点,且A、B两点关于原点O对称,若直线PA,PB的斜率乘积=二分之一,则该双曲线的离心率为?

Question

双曲线.斜率.
已知A、B、P是双曲线x^2/a^2-y^2-b^2=1上不同的三点,且A、B两点关于原点O对称,若直线PA,PB的斜率乘积=二分之一,则该双曲线的离心率为?

Answer 1

题目中双曲线方程应该是x^2/a^2-y^2/b^2=1 把
设点P为（c,d）,点A为（x,y）,
由A、B两点关于原点O对称,则点B为（-x,-y）,
PA,PB的斜率乘积=[（d-y）/(c-x)]× [（d+y）/(c+x) ]=（d^2-y^2）/(c^2-x^2)=1/2,
故c^2-x^2=2（d^2-y^2）
由x^2/a^2-y^2/b^2=1①,c^2/a^2-d^2/b^2=1②
②-①,得（c^2-x^2）/a^2 －（d^2-y^2）／b^2=0,
故（c^2-x^2）/（d^2-y^2）=a^2／b^2,又c^2-x^2=2（d^2-y^2）
故a^2／b^2=2 /1,
设离心率为e,
故e^2=c^2 /a^2=（a^2+b^2）/a^2=（2 b^2+b^2）/（2 b^2）=3/2
故双曲线的离心率e=√6 /2