已知正四棱锥的底面边长为a，高为2a，求它的外接球半径R及内切球半径r．

Question

已知正四棱锥的底面边长为a，高为2a，求它的外接球半径R及内切球半径r．

Answer 1

正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO₁上，
记球心为O，PO=AO=R，PO₁=2a，OO₁=2a-R，或OO₁=R-2a（此时O在PO₁的延长线上），
在Rt△AO₁O中，R²=(1)/(2)a²+（R-2a）²得R=(5)/(8)a；
正四棱锥的斜高为(√(17))/(2)a，正四棱锥内切球的半径为r
由等体积可得(1)/(3)×a2×2a=(1)/(3)（a2+4×(1)/(2)×(√(17))/(2)a）r，
∴r=(√(17)-1)/(8)a