底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面

Question

底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan（α+β）的值是___．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan（α+β）的值是___．

Answer 1

由题意画出图象如下图：

由图得，右侧为该球过SA和球心的截面，由于三角形ABC为正三角形，
所以D为BC中点，且AD⊥BC，SD⊥BC，MD⊥BC，
故∠SDA=α，∠MDA=β．
设SM∩平面ABC=P，则点P为三角形ABC的重心，且点P在AD上，SM=2R，AB=a，
∴AD=(√(3))/(2)a，PA=(√(3))/(3)a，PD=(√(3))/(6)a，
因此tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=((SP)/(PD)+(MP)/(PD))/(1-(SP)/(PD)•(MP)/(PD))=(PD•SM)/(PD2-SP•MP)=(PD•SM)/(PD2-PA2)
=((√(3))/(6)a•2R)/((a2)/(12)-(a2)/(3))=-(4√(3))/(3a)R，
故答案为：-(4√(3))/(3a)R． AD=(√(3))/(2)√(3)2√(3)√(3)√(3)

3

3

33222a，PA=(√(3))/(3)√(3)3√(3)√(3)√(3)

3

3

33333a，PD=(√(3))/(6)√(3)6√(3)√(3)√(3)

3

3

33666a，
因此tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=((SP)/(PD)+(MP)/(PD))/(1-(SP)/(PD)•(MP)/(PD))=(PD•SM)/(PD2-SP•MP)=(PD•SM)/(PD2-PA2)
=((√(3))/(6)a•2R)/((a2)/(12)-(a2)/(3))=-(4√(3))/(3a)R，
故答案为：-(4√(3))/(3a)R． tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tanα+tanβ1-tanαtanβtanα+tanβtanα+tanβtanα+tanβ1-tanαtanβ1-tanαtanβ1-tanαtanβ=((SP)/(PD)+(MP)/(PD))/(1-(SP)/(PD)•(MP)/(PD))(SP)/(PD)+(MP)/(PD)1-(SP)/(PD)•(MP)/(PD)(SP)/(PD)+(MP)/(PD)(SP)/(PD)+(MP)/(PD)(SP)/(PD)SPPDSPSPSPPDPDPD+(MP)/(PD)MPPDMPMPMPPDPDPD1-(SP)/(PD)•(MP)/(PD)1-(SP)/(PD)•(MP)/(PD)1-(SP)/(PD)SPPDSPSPSPPDPDPD•(MP)/(PD)MPPDMPMPMPPDPDPD=(PD•SM)/(PD2-SP•MP)PD•SMPD2-SP•MPPD•SMPD•SMPD•SMPD2-SP•MPPD2-SP•MPPD2-SP•MP2-SP•MP=(PD•SM)/(PD2-PA2)PD•SMPD2-PA2PD•SMPD•SMPD•SMPD2-PA2PD2-PA2PD2-PA22-PA22
=((√(3))/(6)a•2R)/((a2)/(12)-(a2)/(3))=-(4√(3))/(3a)R，
故答案为：-(4√(3))/(3a)R． ((√(3))/(6)a•2R)/((a2)/(12)-(a2)/(3))(√(3))/(6)a•2R(a2)/(12)-(a2)/(3)(√(3))/(6)a•2R(√(3))/(6)a•2R(√(3))/(6)√(3)6√(3)√(3)√(3)

3

3

33666a•2R(a2)/(12)-(a2)/(3)(a2)/(12)-(a2)/(3)(a2)/(12)a212a2a2a22121212-(a2)/(3)a23a2a2a22333=-(4√(3))/(3a)4√(3)3a4√(3)4√(3)4√(3)

3

3

333a3a3aR，
故答案为：-(4√(3))/(3a)R． -(4√(3))/(3a)4√(3)3a4√(3)4√(3)4√(3)

3

3

333a3a3aR．