函数f（x）的定义域为R,且对任意x,y∈R,有f（x+y）=f（x）+f（y）,且当x〉0时,f（x）〈0,f（1）=-2（1）证明：f（x）是奇函数（2）证明：f（x）是R上的减函数

Question

函数f（x）的定义域为R,且对任意x,y∈R,有f（x+y）=f（x）+f（y）,且当x〉0时,f（x）〈0,f（1）=-2
（1）证明：f（x）是奇函数
（2）证明：f（x）是R上的减函数

Answer 1

1.因为f（x+y）=f（x）+f（y）,
所以f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)=f(0)
所以f(0)=0
所以f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0
所以f(x)=-f(-x)
所以f（x）是奇函数
2.设x1>x2,则x1-x2>0(x1,x2为R上的任意数)
当x〉0时,f（x）〈0,
那么f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)