高手快来看看，这个微分方程应该怎么解？y''=(y')^2+1(还望回答详细一些)我是设P=y'，那么y''=P*(dP/dy)，然后带入原方程，之后求得：P^2=C*e^(2y)—1，然后就变成：(y')^2=C*e^(2y)—1，那y等

Question

高手快来看看，这个微分方程应该怎么解？
y'' = (y')^2 + 1
(还望回答详细一些)
我是设 P=y' ，那么 y''=P*(dP/dy)，然后带入原方程，之后求得：P^2=C*e^(2y) — 1，然后就变成：(y')^2=C*e^(2y) — 1，那y等于什么，该怎么求？
或者这题还有没有别的更简单的方法的？能不能详细指点一下。

Answer 1

答：
y''=y'²+1
d(y') =(y'²+1) dx
分离变量：
d (y') /(y'²+1) =dx
两边积分：
arctan(y')=x+C
解得：y'=tan(x+C)=dy /dx
dy=tan(x+C) dx
积分得：
y=∫ tan(x+C) d(x+C)
y=∫ sin(x+C) / cos(x+C) d(x+C)
y=-∫ 1/cos(x+C) d [cos(x+C) ]
y= - ln | cos(x+C) | +K