如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（-8，0），△ABO是直角三角形，且OA=10，将△ABO绕点O顺时针旋转90°，得到△A′B′O（1）求点A′的坐标；（2）连接AA′，求△AOA′的面积；（3）抛

Question

如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（-8，0），△ABO是直角三角形，且OA=10，将△ABO绕点O顺时针旋转90°，得到△A′B′O
（1）求点A′的坐标；
（2）连接AA′，求△AOA′的面积；
（3）抛物线y=ax²+bx+c经过点A′、B′和点C（-1，1），求此抛物线的解析式；
（4）若P是（3）中的抛物线中直线A′O上方的一点，求点P到OA′的最大距离．

Answer 1

（1）在Rt△AOB中，OA=10，OB=8
∴AB=6，
∵△AOB≌△A′OB′，
∴A′B′=6，OB′=8，
∴点A′的坐标为（6，8）；

（2）由题意可知，△AOB≌△A′OB′，
则∠AOB=∠A′OB′，OA=OA′，
∵∠AOB+∠AOB′=90°，
∴∠AOB′+∠A′OB′=90°，
∴△AOA′是等腰直角三角形，
∴△AOA′的面积=(1)/(2)×10×10=50；

（3）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点B′（0，8），
∴c=8，
∴抛物线解析式为y=ax²+bx+8抛物线过点B和A′，
∴

36a+6b+8=0

a-b+8=1

，
解得

a=-1

b=6

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+6x+8；

（4）过点P作x轴的垂线，交OA′于点M，交x轴于N，作PQ⊥OA′于Q，
设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为-x²+6x+8，
点M的横坐标为x纵坐标为x，
∴PM=-x²+6x+8-(4)/(3)x=-x²+(14)/(3)x+8，
易证△PMQ∽△OA′B′，
∴PQ=(3)/(5)PM=(3)/(5)（-x²+(14)/(3)x+8）=-(3)/(5)x+(14)/(5)x+(24)/(5)=-(3)/(5)（x-(7)/(3)）²+(121)/(15)，
∴PQ的最大值为(121)/(15)．