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探究与发现:如图(1)所示的图形,像我们常见的学习用品--圆规。我们不妨把这样图形叫做“规形图”,那么在这一个简单的图形中,到底隐藏了哪些数学知识呢?下面就请你发挥你的

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探究与发现:
如图(1)所示的图形,像我们常见的学习用品--圆规。我们不妨把这样图形叫做“规形图”,那么在这一个简单的图形中,到底隐藏了哪些数学知识呢?下面就请你发挥你的聪明才智,解决以下问题:
(1)观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系,并说明理由;
(2)请你直接利用以上结论,解决以下三个问题:
①如图(2),把一块三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C,若∠A=50°,则∠ABX+∠ACX=_______°;
②如图(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°,∠DBE=130°,求∠DCE的度数;
③如图(4),∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点G 1 、G 2 …、G 9 ,若∠BDC=140°,∠BG 1 C=77°,求∠A的度数。
▼优质解答
答案和解析
(1)连接AD并延长至点F,
由外角定理可得∠BDF=∠BAD+∠B,∠CDF=∠C+∠ CAD,
且∠BDC=∠BDF+∠CDF及∠BAC=∠BAD+∠CAD,
相加可得∠BDC=∠A+∠B+∠C;
 (2)①由(1)的结论易得:∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC,
又因为∠A=50°,∠BXC=90°,
所以∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°;
②由(1)的结论易得∠DBE=∠A+∠ADB+∠AEB,
易得∠ADB+∠AEB=80°;
而∠DCE= (∠ADB+∠AEB)+∠A,
代入∠DAE=50°,∠DBE=130°,
易得∠DCE=90°;
③有(2)的关系,易得答案:∠A=140°- ×77°=70°。

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