在三角形ABC中,内角ABC对边长分别为abc已知c=2,C=π/3（1）若三角形ABC的面积等于根号3,求a,b（2）若sinC+sing（B-A）=2sin2A,求三角形ABC的面积.

Question

在三角形ABC中,内角ABC对边长分别为abc已知c=2,C=π/3
（1）若三角形ABC 的面积等于根号3,求a,b（2）若sinC+sing（B-A）=2sin2A,求三角形ABC的面积.

Answer 1

由sinC+sing（B-A）=2sin2A得sin[π-(A+B)]+sin(B-A)=2sin2A
sin(A+B)+sin(B-A)=2sin2A
sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA-cosBsinA=2sin2A
2sinBcosA=2sinAcosA
cosA(sinA-sinB)=0
即cosA=0 或sinA-sinB=0
当cosA=0,即A=90°时
B=180°-90°-60°=30°
由正弦定理a/sin90=b/sin30=c/sin60
得 a=4√3/3,b=2√3/3
S=1/2absinC=2√3/3
当sinA-sinB=0
即sinA=sinB时
得A=B或A=π-B(舍去)
则A=B=60°
△ABC是等边三角形 a=b=c=2
S=√3/4*2^2=√3 所以当三角形面积为根号3时此三角形为等边三角形a=b=c=2