已知复数Z1与2-3i的积为5-i,设Z=x+yi（x、y属于R）,在复平面C上,Z1、(Z1)^已知复数Z1与2-3i的积为5-i,设Z=x+yi（x、y属于R）,在复平面C上,Z1、(Z1)^3、Z所对应的点分别为A、B、P,设三角形PAB的面积等于2,

Question

已知复数Z1与2-3i的积为5-i,设Z=x+yi（x、y属于R）,在复平面C上,Z1、(Z1)^
已知复数Z1与2-3i的积为5-i,设Z=x+yi（x、y属于R）,在复平面C上,
Z1、(Z1)^3、Z所对应的点分别为A、B、P,
设三角形PAB的面积等于2,求动点P的轨迹方程.

Answer 1

已知复数Z₁与2-3i的积为5-i,设Z=x+yi（x、y属于R）,在复平面C上,Z₁、(Z₁)³、Z所对应的点分别为A、B、P, 设三角形PAB的面积等于2,求动点P的轨迹方程.
Z₁=(5-i)/(2-3i)=(5-i)(2+3i)/13=(10-2i+15i+3)/13=(13+13i)/13=1+i；故A(1,1)；
Z₁=1+i=(√2)[cos(π/4+isin(π/4)],
故(Z₁)³=2(√2)[cos(3π/4)+isin(3π/4)]=2(√2)[-cos(π/4)+isin(π/4)]
=2√2[-√2/2+i(√2/2)]=2(-1+i)=-2+2i；故B(-2,2)；
Z=x+yi；故P(x,y).
∣x y 1∣
S△ABP=±(1/2) ∣-2 2 1∣=±(1/2)[x+3y-4)=2,得x+3y-8=0或x+3y=0.
∣1 1 1∣
即x+3y-8=0或x+3y=0就是动点P的轨迹方程.
轨迹方程的另一求法：
AB所在直线的方程为y=(-1/3)(x-1)+1,即x+3y-4=0,动点P(x,y)到该直线的距离
h=∣x+3y-4∣/√10；∣AB∣=√10；
故△ABP的面积S=(1/2)×√10×∣x+3y-4∣/√10=(1/2)∣x+3y-4∣=2
即有∣x+3y-4∣=4,故轨迹方程为x+3y-4=±4,也就是为x+3y-8=0或x+3y=0.