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(2011•潍坊二模)如图,在七面体ABCDMN中,四边形ABCD是边长为2的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=2,NB=1,MB与ND交于P点,点Q在AB上,且BQ=23.(I)求证:QP∥平面AMD;(Ⅱ)求七面
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(I)求证:QP∥平面AMD;
(Ⅱ)求七面体ABCDMN的体积.
▼优质解答
答案和解析
(I)证明:∵MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,
∴MD∥NB.
∴
=
=
,又
=
=
,
∴
=
,
∴在△MAB中,QP∥AM.
又QP⊄平面AMD,AM⊂平面AMD.
∴QP∥平面AMD.
(II)连接BD,AC交于点O,则AC⊥BD.
又MD⊥平面ABCD,∴MD⊥AC,又BD∩MD=D,
∴AC⊥平面MNBD.
∴AO为四棱锥A-MNBD的高,又SMNBD=
×(1+2)×2
=3
.
∴VA−MNBD=
×3
×
=2.
∴V几何体ABCDMN=2VA-MNBD=4.
∴MD∥NB.
∴
BP |
PM |
NB |
MD |
1 |
2 |
QB |
QA |
| ||
2−
|
1 |
2 |
∴
QB |
QA |
BP |
PM |
∴在△MAB中,QP∥AM.
又QP⊄平面AMD,AM⊂平面AMD.
∴QP∥平面AMD.
(II)连接BD,AC交于点O,则AC⊥BD.
又MD⊥平面ABCD,∴MD⊥AC,又BD∩MD=D,
∴AC⊥平面MNBD.
∴AO为四棱锥A-MNBD的高,又SMNBD=
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2 |
2 |
∴VA−MNBD=
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2 |
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∴V几何体ABCDMN=2VA-MNBD=4.
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