（2011•潍坊二模）如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点，点Q在AB上，且BQ=23．（I）求证：QP∥平面AMD；（Ⅱ）求七面

Question

（2011•潍坊二模）如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点，点Q在AB上，且BQ=(2)/(3)．
（I）求证：QP∥平面AMD；
（Ⅱ）求七面体ABCDMN的体积．

Answer 1

（I）证明：∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，
∴MD∥NB．
∴(BP)/(PM)＝(NB)/(MD)＝(1)/(2)，又(QB)/(QA)＝((2)/(3))/(2−(2)/(3))=(1)/(2)，
∴(QB)/(QA)＝(BP)/(PM)，
∴在△MAB中，QP∥AM．
又QP⊄平面AMD，AM⊂平面AMD．
∴QP∥平面AMD．
（II）连接BD，AC交于点O，则AC⊥BD．
又MD⊥平面ABCD，∴MD⊥AC，又BD∩MD=D，
∴AC⊥平面MNBD．
∴AO为四棱锥A-MNBD的高，又SMNBD＝(1)/(2)×(1+2)×2√(2)=3√(2)．
∴VA−MNBD＝(1)/(3)×3√(2)×√(2)=2．
∴V_{几何体ABCDMN}=2V_A-MNBD=4．