如图,在三棱柱ABC-A′B'C'中,△ABC是边长为2的等边三角形,AA'⊥底面ABC且AA'=4.点D在棱CC'上,且DC'=1,F为AB的中点,从D经过棱BB'到达F的最短路线与棱BB'交于点E（1）求证：AC'//平面DEF

Question

如图,在三棱柱ABC-A′B'C'中,△ABC是边长为2的等边三角形,AA'⊥底面ABC
且AA'=4.点D在棱CC'上,且DC'=1,F为AB的中点,从D经过棱BB'到达F的最短路线与棱BB'交于点E
（1）求证：AC'//平面DEF

Answer 1

作AO⊥BC於O,∵△ABC是等边三角形,∴O是BC中点
由题意得三棱柱是正三棱柱,∴过O作面ABC的垂线OZ,那麼该垂线在面BB1C1C上
以OA为y轴,BC为x轴,OZ为z轴,O为原点建立直角坐标系,那麼
D(1,0,3),F(-1/2,√3/2,0)
把面AA1B1B沿棱BB1逆时针旋转120°,那麼就与面BB1C1C重合,连接DF交BB1於E
FB/FC=1/3,∴BE/CD=1/3,BE=1,∴E(-1,0,1)
ED→=(2,0,2),FD→=(3/2,-√3/2,3)
设面DEF的法向量为n→=(x,y,1),有
2x+2=0,3x/2-√3y/2+3=0,解得n→=(-1,√3,1)
A(0,√3,0),C1(1,0,4)∴AC1→=(1,-√3,4)
AC1→*n→=-1-3+4=0,即AC1→⊥n→
∴AC1∥面DEF