如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA>OB．（1）求A、B的坐标．（2）求证：射线AO是∠BAC的平分线．（3）

Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA>OB．
（1）求A、B的坐标．
（2）求证：射线AO是∠BAC的平分线．
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，
∴x=3或x=4，
∵OA>OB，
∴OA=4，OB=3，
∴A（0，4），B（-3，0）；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∵B（-3，0），
∴C（3，0），
∴OC=OB，
在△AOB和△AOC中，

OB=OC

∠AOB=AOC

AO=AO

，
∴△AOB≌△AOC，
∴∠BAO=∠CAO，
∴射线AO是∠BAC的平分线
（3）根据计算的数据，OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，
所以点F与B重合，
即F（-3，0），
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，
点F（3，8）．
③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，
AC解析式为y=-(4)/(3)x+4，直线L过（(3)/(2)，2），且k值(3)/(4)（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1），
L解析式为y=(3)/(4)x+(7)/(8)，联立直线L与直线AB求交点，
∴F（-(75)/(14)，-(22)/(7)），
④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，

根据等积法求出CN=(24)/(5)，勾股定理得出，AN=(7)/(5)，做A关于N的对称点即为F，AF=(14)/(5)，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=(14)/(5)，
∴F（-(42)/(25)，-(22)/(7)）
综上所述，满足条件的点有四个：F₁（3，8）；F₂（-3，0）；F₃（-(75)/(14)，-(22)/(7)）；F₄（-(42)/(25)，(44)/(25)）．