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在等边三角形ABC中,点E在AB上,连接EC,点D在直线BC上,连接ED,使ED=EC,如图1,当点E为AB的中点时,易证:AC=BD+BE.(1)如图2,当点E在边AB的延长线上时,线段AC,BD,BE又有怎样的数量关
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在等边三角形ABC中,点E在AB上,连接EC,点D在直线BC上,连接ED,使ED=EC,如图1,当点E为AB的中点时,易证:AC=BD+BE.
(1)如图2,当点E在边AB的延长线上时,线段AC,BD,BE又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,不需要证明;
(2)如图3,当点E在边BA的延长线上时,线段AC,BD,BE又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明.

(1)如图2,当点E在边AB的延长线上时,线段AC,BD,BE又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,不需要证明;
(2)如图3,当点E在边BA的延长线上时,线段AC,BD,BE又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明.

▼优质解答
答案和解析
(1)结论:BD-BE=AC.
证明:如图2中,作EM∥AC交CD于M.

∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,∠A=∠ACB=60°,
∴∠BEM=∠A=60°,∠BME=∠ACB=60°,
∴△BME是等边三角形,
∴∠DME=∠CBE=120°,BM=EB,
∵ED=EC,
∴∠EDM=∠ECB,
在△EDM和△ECB中,
,
∴△EDM≌△ECB,
∴DM=BC,
∴BD-BM=DM,
∴BD-BE=AC.
(2)如图3中,结论:BE-BD=AC.

理由:作EM∥AC交BD的延长线于M.
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,∠A=∠ACB=60°,
∴∠BEM=∠A=60°,∠BME=∠ACB=60°,
∴△BME是等边三角形,
∴∠DME=∠CBE=60°,BM=EB,
∵ED=EC,
∴∠ECD=∠EDC,
∴∠EDM=∠ECB,
在△EDM和△ECB中,
,
∴△EDM≌△ECB,
∴DM=BC,
∴BE-BD=BM-BD=DM=BC=AC,
∴BE-BD=AC.
证明:如图2中,作EM∥AC交CD于M.

∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,∠A=∠ACB=60°,
∴∠BEM=∠A=60°,∠BME=∠ACB=60°,
∴△BME是等边三角形,
∴∠DME=∠CBE=120°,BM=EB,
∵ED=EC,
∴∠EDM=∠ECB,
在△EDM和△ECB中,
|
∴△EDM≌△ECB,
∴DM=BC,
∴BD-BM=DM,
∴BD-BE=AC.
(2)如图3中,结论:BE-BD=AC.

理由:作EM∥AC交BD的延长线于M.
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,∠A=∠ACB=60°,
∴∠BEM=∠A=60°,∠BME=∠ACB=60°,
∴△BME是等边三角形,
∴∠DME=∠CBE=60°,BM=EB,
∵ED=EC,
∴∠ECD=∠EDC,
∴∠EDM=∠ECB,
在△EDM和△ECB中,
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∴△EDM≌△ECB,
∴DM=BC,
∴BE-BD=BM-BD=DM=BC=AC,
∴BE-BD=AC.
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