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如图,在三角形abc中,ab=ac,以ab为直径的圆O交BC于点D,交AC于点E,过点D作DF垂直AC,垂足为F.(1)求证:DF为圆O的切线;(2)若过A点且与BC平行的直线交BE的延长线于点G,连接CG.当三角形ABC是等边三
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如图 ,在三角形abc中 ,ab= ac ,以ab为直径的圆O交BC于点D,交AC于点E,过点D作
DF垂直AC,垂足为F.(1)求证:DF为圆O的切线;(2)若过A点且与BC平行的直线交BE的延长线于点G,连接CG.当三角形ABC是等边三角形时,求角AGC的度数.
DF垂直AC,垂足为F.(1)求证:DF为圆O的切线;(2)若过A点且与BC平行的直线交BE的延长线于点G,连接CG.当三角形ABC是等边三角形时,求角AGC的度数.
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答案和解析
(1)证明:连接AD,OD,
∵AB是⊙O的直径,
∴AD⊥BC.
∵△ABC是等腰三角形,
∴BD=DC.
∵AO=BO,
∴OD∥AC.
∵DF⊥AC,
∴DF⊥OD,
∴DF是⊙O的切线.
∵AB是⊙O的直径,
∴BG⊥AC.
∵△ABC是等边三角形,
∴BG是AC的垂直平分线,
∴GA=GC.
又∵AG∥BC,∠ACB=60°,
∴∠CAG=∠ACB=60°.
∴△ACG是等边三角形.
∴∠AGC=60°.
∵AB是⊙O的直径,
∴AD⊥BC.
∵△ABC是等腰三角形,
∴BD=DC.
∵AO=BO,
∴OD∥AC.
∵DF⊥AC,
∴DF⊥OD,
∴DF是⊙O的切线.
∵AB是⊙O的直径,
∴BG⊥AC.
∵△ABC是等边三角形,
∴BG是AC的垂直平分线,
∴GA=GC.
又∵AG∥BC,∠ACB=60°,
∴∠CAG=∠ACB=60°.
∴△ACG是等边三角形.
∴∠AGC=60°.
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