函数问题,数形结合设k>1,f(x)=k(x-1)(x∈R)在平面直角坐标系xOy中,函数y=f(x)的图象与x轴交于A点,它的反函数y=[f(x)]^-1的图像与y轴交于B点,并且这两个函数的图像交于P点,已知四边形OAPB的面积是3,则

Question

函数问题,数形结合
设k>1,f(x)=k(x-1)(x∈R)在平面直角坐标系xOy中,函数y=f(x)的图象与x轴交于A点,它的反函数y=[f(x)]^-1的图像与y轴交于B点,并且这两个函数的图像交于P点,已知四边形OAPB的面积是3,则k=

Answer 1

x=1,y=k(x-1)=0
所以A(1,0)
反函数关于y=x对称
(1,0)关于y=x对称对称点是(0,1)
所以B(0,1)
反函数关于y=x对称
所以f(x)和反函数的交点一定在y=x上
过B作BC垂直y=x
BO=1,则由勾股定理
BC=√2/2
所以三角形PBO高=√2/2,底边=OP
同理,三角形PAO也是高=√2/2,底边=OP
所以四边形面积=(√2/2)*OP=3
OP=3√2
P在y=x上
所以P(3,3)或(-3,-3)
f(x)过P
带入
3=k(3-1),k=3/2,符合k>1
-3=k(-3-1),k=3/4,不符合k>1
所以k=3/2