如图1，菱形ABCD的边长为12，∠BAD=60°，AC交BD于点O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M，N分别是棱BC，AD的中点，且DM=62．（Ⅰ）求证：OD⊥平面ABC；（Ⅱ）求三棱锥M-ABN的体积．

Question

如图1，菱形ABCD的边长为12，∠BAD=60°，AC交BD于点O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M，N分别是棱BC，AD的中点，且DM=6√(2)．

（Ⅰ）求证：OD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求三棱锥M-ABN的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，OD⊥AC，
在△ADC中，AD=DC=12，∠ADC=120°，∴OD=6，
又M是BC的中点，∴OM=(1)/(2)AB=6，MD=6√(2)，
∵OD²+OM²=MD²，则DO⊥OM，
∵OM，AC⊂面ABC，OM∩AC=O，
∴OD⊥面ABC；
（Ⅱ） 取线段AO的中点E，连接NE．
∵N是棱AD的中点，∴NE=(1)/(2)DO且NE∥DO．
由（Ⅰ）得OD⊥面ABC，∴NE⊥面ABC，
在△ABM中，AB=12，BM=6，∠ABM=120°，
∴S△ABM=(1)/(2)•AB•BM•sin∠ABM=(1)/(2)×12×6×(√(3))/(2)=18√(3)．
∴VM-ABN=(1)/(2)VM-ABD=(1)/(2)VD-ABM=(1)/(2)•(1)/(3)S△ABM•OD=18√(3)．