如图所示，水平传送带足够长，上面排列着很多个相距足够远的、质量为M=1kg的木块，木块随传送带一起以v=5m/s的恒定速度向左匀速运动，木块与传送带表面动摩擦因数μ=0.2．一颗质量为m=50g

Question

如图所示，水平传送带足够长，上面排列着很多个相距足够远的、质量为M=1kg的木块，木块随传送带一起以v=5m/s的恒定速度向左匀速运动，木块与传送带表面动摩擦因数μ=0.2．一颗质量为m=50g的子弹以速度v₀=500m/s水平向右正对射入第一块木块并穿出，穿出速度为300m/s，若子弹打穿木块，则在每次打穿过程子弹损失的动能为前一次打穿过程子弹损失动能的(1)/(2)，忽略子弹竖直方向的下落运动，g=10m/s²．求：
（1）子弹打穿第一块木块后瞬间，第一块木块的速度；
（2）子弹最终留在哪块木块内？
（3）从子弹打入第一块木块前，到所有木块都再次相对传送带静止的整个过程中，子弹、所有木块和传送带这一系统产生的热能为多少？

Answer 1

（1）选取子弹运动的方向为正方向，子弹穿过木块过程中动量守恒：mv₀-Mv=mv ₁+Mv₁′…①
解得：v₁′=(mv0−mv1−Mv)/(M)＝(50×10−3×500−50×10−3×300−1×5)/(1)m/s＝5m/s…②
（2）子弹在穿过第一个木块的过程中损失的动能：Ek1＝(1)/(2)m

v

2 0

−(1)/(2)m

v

2 1

＝(1)/(2)×0.05×(5002−3002)＝4000J
若最后一次子弹刚好穿过木块，而且速度等于0，则：
mv_n-Mv=0
得：vn＝(Mv)/(m)＝(1×5)/(0.05)m/s＝100m/s
子弹能够穿过木块的最小的动能：Emin＝(1)/(2)m

v

2 n

＝(1)/(2)×0.05×1002J＝250J
子弹在穿过第二个木块的过程中损失的动能：Ek2＝(1)/(2)Ek1＝2000J
又：Ek2＝(1)/(2)m

v

2 1

−(1)/(2)m

v

2 2

代入数据解得：v₂=100m/s=v_n
所以：n=2
所以木块最终将留在第3块木块内．
（3）子弹在穿过第二个木块后木块的速度v₂′，则：mv₁-Mv=mv₂+Mv₂′
代入数据解得：v2′＝(mv1−mv2−Mv)/(M)＝(50×10−3×300−50×10−3×100−1×5)/(1)m/s＝5m/s
第一块木块和第二块木块被子弹穿过后的速度都是5m/s，与传送带的速度大小相等，木块的动能没有变化；当再次相对传送带静止的整个过程中，摩擦力对木块做的功等于0，所用的时间：t1＝(−v−v1′)/(a)＝(−5−5)/(−0.2×10)s＝5s
该过程中传送带的位移就等于木块与传送带的相对位移：s₁=-vt₁=-5×5m=-25m
传送带克服摩擦力做的功：W₁=s₁•μMg=25×0.2×1×10J=50J
子弹进入第三块木块的过程中：mv_n-Mv=0
即子弹进入第三块木块后的动能等于0，所以子弹进入第三块木块的过程中子弹和木块损失的动能：
△Ek＝(1)/(2)m

v

2 2

+(1)/(2)Mv2＝(1)/(2)×50×10−3×1002+(1)/(2)×1×52＝262.5J
第三块木块与子弹一起加速的过程中，摩擦力做的功转化为它们的动能：
W2＝(1)/(2)(M+m)v2＝(1)/(2)×(1+0.05)×52J＝13.125J
加速过程的加速度：a=-μg=-0.2×10=-2m/s ²
加速的时间：t2＝(△v)/(a)＝(0−5)/(−2)s＝2.5s
该过程中摩擦力对 传送带做的功：
W3＝μ(M+m)g•(vt2−(1)/(2)a

t

2 2

)＝0.2×(1+0.05)×10×(5×2.5−(1)/(2)×0.2×10×2．52)J＝13.125J
子弹打入第一块木块前，到所有木块都再次相对传送带静止的整个过程中，子弹、所有木块和传送带这一系统产生的热能为：
△E=E_k1+E_k2+2W₁+△E_k+W₂+W₃=4000J+2000J+2×50J+262.5J+13.125J+13.125J=6388.75J
答：（1）子弹打穿第一块木块后瞬间，第一块木块的速度是5m/s；
（2）子弹最终留在第三块木块内；
（3）从子弹打入第一块木块前，到所有木块都再次相对传送带静止的整个过程中，子弹、所有木块和传送带这一系统产生的热能为6388.75J．