（2014•大兴区一模）对于无穷数列{an}，记bn=an+1-an（n∈N*），给出下列定义：①若存在实数M，使an≤M成立，则称数列{an}为“有上界数列”；②若{an}为有上界数列，且存在n0（n0∈N*），使an0=

Question

（2014•大兴区一模）对于无穷数列{a_n}，记b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），给出下列定义：
①若存在实数M，使a_n≤M成立，则称数列{a_n}为“有上界数列”；
②若{a_n}为有上界数列，且存在n₀（n₀∈N^*），使an0=M成立，则称{a_n}为“有最大值数列”；
③若b_n+1-b_n＜0（n∈N^*），则称数列{a_n}为“差减小数列”．
（Ⅰ）根据上述定义，判断数列{(1)/(n)}，{-(1)/(2n)}分别是那种数列？
（Ⅱ）在数列{a_n}中，a₁=√(2)，a_n+1=√(2+an)（n∈N^*），求证：数列{a_n}既是有上界数列又是差减小数列；（Ⅲ）若数列{a_n}是有上界数列且是差减小数列但不是有最大值数列，求证：无穷数列{a_n}为单调递增数列．

Answer 1

（Ⅰ）（i）an＝1n，显然an＝1n≤1，且存在n=1，a1=1，bn＝1n+1−1n=-1n(n+1)，bn+1-bn=-1(n+1)(n+2)+1n(n+1)=1n+1(1n−1n+2)＞0，所以数列{1n}既是由上界数列，又是有最大值数列．…（2分）（i）an＝−12n，bn＝−1...