已知a、b、ω是实数，函数f（x）=asinωx+bcosωx满足“图象关于点（π3，0）对称，且在x=π6处f（x）取最小值”.若函数f（x）的周期为T，则以下结论一定成立的是（）A.a=0B.b=0C.T=23πD.ω=9

Question

已知a、b、ω是实数，函数f（x）=asinωx+bcosωx满足“图象关于点（(π)/(3)，0）对称，且在x=(π)/(6)处f（x）取最小值”.若函数f（x）的周期为T，则以下结论一定成立的是（　　）
A. a=0
B. b=0
C. T=(2)/(3)π
D. ω=9

Answer 1

当a=0时，则函数f（x）=bcosωx，故函数在x=0时取得最值，
若函数在x=(π)/(6)处f（x）取最小值，则必在x=(π)/(3)处f（x）取最值，故A错误；
∵函数f（x）=asinωx+bcosωx的图象关于点（(π)/(3)，0）对称，且在x=(π)/(6)处f（x）取最小值，
∴(π)/(3)−(π)/(6)＝(T)/(4)+k•(T)/(2)，即(π)/(6)＝(T)/(4)+k•(T)/(2)
当k≠0时，T≠(2)/(3)π，故C错误；
由于f（x）=asinωx+bcosωx=√(a2+b2)sin（ωx+φ）
则sin(ω×(π)/(6)+φ)＝−1，则ω×(π)/(6)+φ＝2mπ−(π)/(2)(m∈Z)      ①
sin(ω×(π)/(3)+φ)＝0，则ω×(π)/(3)+φ＝nπ(n∈Z)              ②
故②-①得到ω×(π)/(6)＝kπ+(π)/(2)(k∈Z)
∴ω=6k+3（k∈Z），故D错误；
故结论一定成立的是B
故答案为 B